木广义积分落户-积分入户落户

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1. 广义积分中值定理公式？

广义积分中值定理公式？

积分中值的定理公式是 f(x)dx=f(ξ）(b - a)（a≤ξ≤b)

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分第一中值定理：若f在[a，b]上连续，则至少存在一点c属于[a，b]，使得在[a，b]上的积分值等于f(c)(b-a)。推广：若f与g都在[a，b]上连续，且g在[a，b]上不变号，则至少存在一点c属于[a，b]，使得f乘以g在[a，b]上的积分等于f(c)乘以g在[a，b]上的积分。

中值定理叙述如下：

定理3 设函数f(x)与g(x)在[a，b]上可积

函数f(x)在[a，b]上单调增加且非负，则存在ξ∈［a，b]，使 \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=f(b) \int_{\xi}^{b} g(x)dx.

函数f(x)在[a，b]上单调递减且非负，则存在ξ∈［a，b]，使\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int_{a}^{\xi}g(x)dx.

函数f(x)在[a，b]上单调，则存在ξ∈［a，b]，使\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(a)\int_{a}^{\xi}g(x)dx+f(b)\int_{\xi}^{b}g(x)dx.

证明

若f(x)在[a，b]上有连续导数，用分部积分公式，得 \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=-f(x)\int_{x}^{b}g(t)dt |_{a}^{b} +\int_{a}^{b}f'(x) \int_x^bg(t)dtdx\\ =f(a)\int_x^bg(t)dt+\int_{a}^{b}f'(x) \int_x^bg(t)dtdx 此时考虑到f(a)，f'(x)≥0，记m，M分别为函数 \int_{x}^{b} g(t)dt在[a，b]上的最小值与最大值，所以有 [f(a)+\int_{a}^{b}f'(x) dx]m\leq f(a) \int_x^bg(t)dt+\int_{a}^{b}f'(x) \int_x^bg(t)dtdx\\\leq[f(a)+\int_{a}^{b}f'(x) dx]M 即 f(b)m\leq f(a) \int_x^bg(t)dt+\int_{a}^{b}f'(x) \int_x^bg(t)dtdx\leq f(b)M 再由连续函数介值性知，存在ξ∈[a，b]，使等式 \int_{a}^{b} f(x)g(x)dx=f(b) \int_{\xi}^{b} g(x)dx 成立. 若f(x)是非负不减函数，则在[a，b]上可积，并且存在连续可导且非负不减函数序列f _n (x)，有 \int_{a}^{b}|f(x)-f_n(x)|dx\rightarrow0,(n\rightarrow\infty)

到此，以上就是小编对于木广义积分落户的问题就介绍到这了，希望介绍关于木广义积分落户的1点解答对大家有用。

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